地球物理学

地震早期警報の限界：地震動の推定の瞬時性

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Sarah E. Minson,1* Men-Andrin Meier,² Annemarie S. Baltay,¹ Thomas C. Hanks,¹ Elizabeth S. Cochran³

1 U.S. Geological Survey, Menlo Park, CA 94025, USA.

2 California Institute of Technology, Pasadena, CA 91125, USA.

3 U.S. Geological Survey, Pasadena, CA 91106, USA.

* Corresponding author. Email: sminson@usgs.gov.

地震そのものがごく近傍のものであるか非常に大きく成長するかしない限り、地震から強い地震動を推定することを期待しえないことは、地震に係る物理学の基本である。我々は、地震の規模が予測可能なものではないことを踏まえて、地震学上の単純な関係式を用いて、震源から離れた場所における強い地震動を予測できるまでに経過する最短の時間を計算する。地震早期警報（EEW）システムは、人々及び自動化されたシステムが被害を軽減するための防御的行動をとれるようにするために、来るべき地震動についての充分な警報を提供することを目的として、世界中の多くの地域において実施中又は研究中である。しかし、特定のレベルの地震動について、物理学的に警報の猶予時間をどれだけとることができるかという疑問は、解決されていない。理想的な場合において利用者が警報を受信することができるありうべき猶予時間を定めるために、遅延のないEEWシステムを仮定した。この場合において、警報の猶予時間を制約するのは、地震が成長するのに要する時間及び強い地震動が利用者の所在地にまで到達する時間だけである。小さな閾値による地震動についての警告を望む利用者は、大きな閾値による地震動の警報を受け取る利用者よりも、平均猶予時間が長い堅実な警報を受信することになることがわかった。EEWシステムは、相対的に小さな地震動の閾値によって行動をとることを望んでいる利用者にとっては最も大きな利益となる可能性がある一方で、行動をとるための閾値を大きく設定している利用者は、適時かつ行動につながる情報を受け取りにくい。

はじめに

地震早期警報（EEW）システムは、発生中の地震を迅速に探知してこれを即時に特徴付けし、被害を生じさせる地震動について事前の警報を行う。これらは、波形の最初の部分の通常は振幅の小さな地震動に係るに含まれる情報を、これに続く振幅の大きなものとなりうる地震動の推定に利用する。EEWの警戒情報が地震波の伝播速度よりも早く伝達されうることから、このような地震動の警報は、強い揺れそのものよりも先に目標となる場所に到達することができ、これによって、人々にも自動化されたシステムにも、地震に関連した傷害や損失を軽減する行動をとるための貴重な時間をもたらす。これらの行動は、警報を受けた人々が安全な場所に移動するような単純な手順から、空港における離着陸を停止するような複雑で自動化された手順まで多岐にわたる（1 ）。警告をどれだけ早く発表できるか、利用者がどのようにして強い揺れの到達前に警報を受け取るか、また、揺れの大きさをどのようにして正確に推定できるのかについては、物理的な制約を課している地震学上の基本的な原則がある。ここでは、我々は、前二者を取り扱い、物理学的に現実的なEEWシステムによって達成されうる究極的な時間性能を確立する。EEWによる警告が所定のレベルの地震動についてどれだけ早期の警報を提供しうるか（すなわち瞬時性）というこの課題は、まだ解決されておらず、利用者の期待もシステムの全体的な性能もごく不充分にしか定義されていないままである。

EEWシステムは、世界各地で実用化されて、大きな地震の危険にあたって人々に警報を提供している。メキシコは、1991年から、大きな地震の発生にあたって警告を発するEEWシステム（SASMEX）（2 ）を成功裏に運用してきているが、これは、ある程度のレベルの地震動を示すが定量的な予測を伴うものではない。対照的に、2007年から実用化されている日本気象庁（JMA）のEEWシステム（3 ）及び合衆国西海岸について開発中の"ShakeAlert"EEWシステム（4 ）は、地震の位置及び強さを推定し、これを地震動予測式（GMPE）に用いて、予測される地震動を計算する。もし予測される地震動が一定の利用者が指定する閾値を超過するときは、当該利用者に対し警告がなされる。JMAのシステムは、都道府県単位以下の予報区について気象庁震度階級４超の地震動が予測されるときには当該予報区に対して警告を発する。通常は、震源に最も近い予報区に対して最初の警告が発せられ、破壊が成長してマグニチュードの推定値が更新されるにつれて影響を受ける地域が広がったときは、より遠い地域にまで警告が発せられる。JMAのシステムは、東北地方太平洋沖地震（2011年、M9.0）に際して何百万人もの人々に警告を送る等、何百回もの警告を発してきた（5 ）。

EEWによる警告の瞬時性についての既往の推定は、最終的な破壊の大きさ及び程度が即時に既知となる（6, 7 ）、あるいは地震の最終的な規模が最初のP波からわずか数秒間についての記録から決定できる（8, 9 ）という仮定に基づくものであった。しかし、地震の最終的な規模はその発生時点においては決定されないので警報の猶予時間には限界があるとの意見もある（10–13 ）。この見解は、理論的な考察（14 ）及び大きな地震の初期段階の到達が小さな地震のそれと識別できないことを示す観測成果の研究に基づくものである（15–18 ）。ごく最近、Meier et al.（19 ）は、地殻の浅いところで発生する地震（M４～８）についての大規模なデータセットの記録を検討することによって、大小の破壊の初期段階は識別できないことを示し、破壊の初期段階が最終的な破壊の規模の判断材料にならないことを示唆している。

実用化されたEEWシステムについて測定された実績によって、さらなる証拠が得られている。最近の大規模地震（東北地方太平洋沖地震（2011年、M9.0）、熊本地震（2016年、M7.0）、岩手・宮城内陸地震（2008年、M6.9）等の日本の地震）においては、地震モーメントの解放を追跡するにつれてEEWによる即時的なマグニチュードの推定値が大きくなっていくことが示された（図１）（20, 21 ）。よって、ここでは、EEWシステムは最終的な破壊の大きさを予測することができず、成長していくモーメントの解放を観測することしかできないものと仮定する。

図１．地震の規模及び警告の進展。（A）東北地方太平洋沖地震（2011年、M9.0）、（B）熊本地震（2016年、M7.0）及び（C）岩手・宮城内陸地震（2008年、M6.9）についての、EEWによるマグニチュードの推定値の成長。我々は、JMAのEEWシステムによるマグニチュードの推定値の時間に伴う成長（青線）を、運動学的な破壊のモデル化に基づいて推定された実際のマグニチュードの成長（黒線）（35–37 ）と比較した。JMAによる推定は、実際の震源時間関数（STF）と同じ形状をしているが、時間的にはずれている。このことは、EEWによるマグニチュードの推定値が、最終的なマグニチュードを予想しているのではなく、時間に伴う地震モーメントの解放の進行に追随している（システムの遅延による遅れを含む）ことを示している。JMAのEEWによる東北地方太平洋沖地震のマグニチュードの推定値が、利用している周波数帯による制約によってM８付近で飽和していることに注意（38 ）。

ここで、我々は、最終的な破壊の規模が予測できないことを前提として、利用者の所在地についての地震動の定量的な評価を提供する仮想的なEEWシステムに期待される性能に注目し、利用者が受信しうる可能な限り最長の警報の猶予時間を評価するための枠組を確立する。ここで、「警報の猶予時間」（Twarn）は、所定の地震動の閾値について利用者が警告を受信する時間（「警告時間」（Talert））と、当該閾値にあたる地震動が利用者の所在地に到達する時間（図２はめ込み）との時間差として定義される。我々は、この警報システムが、進行中のモーメントの解放をその位置及び破壊によって瞬時かつ完全に推定できるものと仮定する。警告が発せられるまでの時間は、各利用者が行動をとることとなる地震動の閾値によって、また、（おそらくはまだ成長中の）震源からのさまざまな距離において当該閾値に達するために必要な最小のマグニチュードによって変わる。我々は、警告が発せられるまでの時刻を求めるために、地震学上の基本的な関係式及び観測成果を用いる。まず、我々は、あらゆる距離について所定の閾値のレベル以上の揺れを発生させる最小限のマグニチュードを計算するために、マグニチュードと破壊からの距離の関数として、表面最大加速度（PGA）（又は表面最大速度（PGV）；補足資料を参照）を求めるGMPEを使用する（図３A及びB）。次に、我々は、破壊がこの最小限のマグニチュードを超過するものであることを仮想的なシステムが推定できる最速の時間を評価するために、物理学的蓋然性のある最速の震源時間関数を用いる（図３C）。最後に、我々は、測定された閾値ごとの到達時間の広範なコレクションを用いて、波形のどの時点で地震動が閾値を超過したかを決定する。破壊が最小限のマグニチュードを超過するであろうと早期警報システムが評価したときにはすぐに警告が発せられることから、警告が発せられるまでの時間は、最終的なマグニチュード又は最終的なPGAからは独立したものであり、また、単純に、利用者までの距離及び設定された地震動の閾値にのみ依存する。我々は、まず、一点を震源とする破壊について考察し、その後、破壊が一方向に一定速度で伝播する有限長さの震源について、我々の理論的な解析を繰り返す。

図２．Talert、Twarn及び有限断層のデザインについての概要図。はめ込み：所定の場所について５、10又は20％g（重力加速度比）を閾値としたときの、警告が発せられるまでに必要な時間（Talert）及び利用者が受信した警報の猶予時間の長さ（Twarn）の概要図。Talertは、地震の発生からEEWシステムが利用者の所在地について所定の閾値を超過するPGAを予測できるまでの時間である。利用者が受信した警報の猶予時間の長さ（Twarn）は、Talertから利用者の所在地における地震動が実際に所定の閾値を超過する時点までの時間差である。図本体：破壊の始点（星印）から見た２つの異なる利用者の所在地について、破壊の進行方向（赤線）及びS波の伝播方向（青線）に対する断層の形状（黒線）を示したもの。有限断層の例において、破壊は、Vr＝３km/sという一定の破壊速度で一方向に伝播すると仮定されている。破壊の進行とは反対方向にある場所（1）について、一点を震源とする例においては、強い地震動の推定値は、Vs＝3.5km/sで伝播する直接のS波によって到達されるものであると仮定される。破壊の進行方向にあっては、最終的に速さVsで観測者（2）へと伝わっていく前に当初は断層に沿って速さVrで伝播するものと仮定されることから、強い地震動となるのは遅くなる。

図３．結果としてのPGAの閾値に対する、マグニチュードと距離との相互依存性。（A）マグニチュード（曲線の色別）及び距離（横軸）の関数としての、距離に応じたPGAの減衰。閾値を水平線で示す。（B）距離（横軸）の関数としての、４通りのPGAの閾値２、５、10及び20％gに達するための最小限のマグニチュード。（C）M８の地震におけるモーメントの解放の、時間（横軸）に伴う成長。赤実線は、円形クラックモデルによる、仮定のモーメント解放率M₀～Td³を示す（24–26 ）。赤破線は、実際のモーメントの解放の２倍の早さでマグニチュードを評価するものとしたときに、EEWシステムが円形クラックモデルの下で地震の規模を推定できる早さを示す。これは、一点を震源とする分析において用いられるモデルである。緑線は、破壊の進行速度３km/s及びHanks and Bakun（29 ）によるマグニチュード・対数面積（M-logA）スケーリングを前提とした、最大地震発生幅15kmに達するまで円形クラックとして拡大してから断層に沿って一方向に拡大する大陸部の横ずれ断層地震によるモーメントの解放。これは、有限断層の分析（本文参照）において用いられるモデルである。

結果

地震動についての警告が発せられるまでにどのくらいかかるか？

EEWシステムが提供する警報の猶予時間の長さは、所定の地震動の閾値について警告が発せられてから利用者の所在地において当該所定の地震動の閾値を超過するまでの時間差である（図２）。一方、警告時間は、地震が始まってから警告が発せられるまでに経過した時間である。ここでは、我々は、表面加速度の閾値として２、５、10及び20％gを用いる。これは、おおむね改正メルカリ震度階級でIV（軽い揺れ）～VII（非常に強い揺れ）に相当する。

GMPEを特定することによって、ある距離において４つの閾値それぞれの地震動を発生させるために必要なマグニチュードが求められる（図３A）。我々は、マグニチュードに対する非常に滑らかな依存性を有するものであることから、Chiou and Youngs（22 ）によるGMPEを用いる。単純化のために、我々は、マグニチュード８（大陸の地殻において観測された最大の横ずれ断層現象）までの地殻内の垂直横ずれ断層地震であって観測者が岩盤上に所在する場合についてのみ考察する。（後半の事例では、さまざまな条件の地点を含むサンフランシスコ湾岸地域の有限断層について考察する。）距離Rは、破壊に対して垂直に測定され、Chiou and Youngs（22 ）が用いた破壊距離（Rrup）の定義と一致する。我々は、表面加速度の４つの閾値のそれぞれについて、任意の距離において地震動が当該閾値に達する最小の地震の規模を定めた（図３B）。よって、R（km）離れた場所における加速度の任意の閾値は、（成長する）地震が警告を発するために計算された最小限のマグニチュードに達することを要するものとなる。（これらの地震動が、あらゆるマグニチュード及び距離について予測される地震動の中央値であり、さらには、我々が将来の研究において取り組むこととなる課題――GMPEにつきものの不確実性又はさまざまな条件の場所――を取り入れたものではないことに注意。）

早期警報システムによって、地震の破壊の大きさが閾値となる地震動を生じさせる最小限のマグニチュードを超過すると評価されたときには、すぐに警報が発せられる。原因についての物理学及び通説は、地震がある程度の規模にまで成長するには時間がかかること、また、地震の規模が大きいほど、最終的なマグニチュードに達するまでに要する時間は長くなることを示している。よって、その時点で評価されるマグニチュードは、すでに発生した破壊の部分を反映したものであって、最終的なマグニチュードを予測させるものではない。しかし、大規模（M７超）な沈み込み帯断層地震（23 ）の運動学的震源モデルによるモーメントレート関数のデータセットを用いたごく最近の研究は、モーメントレートの成長がかなり対称的であることから最終的な震源継続時間の約半分において最終的なマグニチュードを評価しうることを示している（19 ）。このことから、地震のモーメントレート関数はある最大値に達してからおおむね対称的なかたちで減衰していく（19, 23 ）ことが直感的にわかる。よって、モーメント解放率が最大となるまでの任意の時点においては、最終的な震源継続時間がそれまでの破壊の継続時間の少なくとも倍であることが予想され、最終的なモーメントは、少なくともそれまでに解放されたモーメントよりもかなり大きくなるはずである。例えば、地震の破壊が３秒間続いておりモーメント解放率がまだ上がり続けているならば、これは少なくとも６秒間は続くと仮定でき、これによって当面は少なくとも約M6.5のマグニチュードが予想されることになる。

すなわち、警告を発するまでには、利用者の閾値を超過する地震動を発生させる最小限のマグニチュードの地震に係る震源継続時間の半分の時間が必要であることになる。よって我々は、破壊によってこの最小限のマグニチュードが解放されるまでにどのくらいかかるかを知る必要がある。我々は、円形クラックについては実際のモーメントの解放が自己相似的な震源時間関数によって得られると仮定して、破壊時間をモーメントマグニチュードと関連付けた（図３C）（Bruneの研究（25, 26 ）を受けたHanks and Thatcherの研究（24 ）を参照）。地震モーメント（M₀）の地震の震源継続時間（Td）は、応力の低下（Δσ）５MPa（27 ）及び剪断波速度（β）3.5km/sを用いて、次式によって求められる（図３Cの赤実線）。

　　　　　Td＝ | [ | 8.47M₀ | ] | 1/3 | 　　…（1）
Δσ・β³ |

ここで、係数8.47は、応力の低下とモーメントとを関連付けるBruneの定数（26 ）7/16及びｒから、r＝2.34β/（2πfc）及びTd＝1/fcという彼の関係式との組み合わせによって求められるものである。

それから常に、我々は、地震の最小限のマグニチュードを、式１（図３Cの赤破線）によって求められた震源継続時間（Td）の２倍を以て得られるものとしている。この仮定は、警告時間（Talert）を半分にする。Bruneの円形クラックモデルが例外的に大きなモーメント解放率を示し、我々がこれを２倍にしたことから、この分析は、EEWによって可能な警報の猶予時間について、楽観的な見方を生じさせている。Bruneの円形クラックは、非常に単純な震源モデルであって、実際の地震の著しい多様性を捕捉しきれない傾向があるとはいえ、M７以上の沈み込み帯地震115件について観測されたモーメント解放率をよく近似しており（23 ）、マグニチュードの小さな地震についてはコーナー周波数の観測値とも一致する（図S１）。しかし、大規模な横ずれ断層地震にあっては、その破壊の幅は地震が発生しうる地層の幅に制約されて断層に沿った方向にしか成長できず、モーメント解放率（図３Cの緑線）は小さく、警告を発するために必要な時間Talertは増加する（図S２）。

こうして我々は、継続時間とマグニチュードの関係とのをGMPEと組み合わせ、距離の関数としての警告を発するために必要な最小限のマグニチュードを計算する（図３B）。これを仮定すると、震源継続時間の半分の時点で警告を発することができ（図３Cの破線）、我々は、この地震から予想される地震動の中央値が所定の距離において利用者の閾値を超過するという警報を発するために必要な最低限の時間を計算する（図４A）。（他の震源時間関数及びPGVについての補足的な結果を、図S２に示す。）これは、EEWシステムが所定の距離に所在する利用者に対して警告を発することができる平均的な早さ（Talert）の、理論的な限界である。これが、遅延のないシステムという理想的な場合であることに注意されたい。実際には、システムの遅延（データテレメトリの遅延、演算時間等）があり、現実世界のEEWシステムにおいては、これによってTalertが大きくなる。

図４．一点を震源とする地震について警告を発するまでに必要な時間及びその結果としての警報の猶予時間。（A）さまざまな警報の閾値（曲線の色別）に対する、利用者までの震源距離（横軸）の関数としての、警告を発するまでに必要な時間（Talert）。黒破線は、予想されるS波の到達時間。（B）S波が利用者の所在地（震源距離を横軸に示す）に到達したときに地震動が閾値を超過し、以て利用者にとっての警報の猶予時間がS波の到達時間（（A）の黒破線）と警告を発するための時間（（A）の色別の曲線）との差になると仮定したときの、警報の猶予時間（Twarn：縦軸）。

あらゆる距離において、地震動の閾値が小さいときのほうが、大きいときよりも早く警告を発することができる（図４及び図S２）。例えば、M５までの成長に１秒かかることから最終的なマグニチュードの推定には0.5秒を要するとしたとき、我々は、25km未満の距離についてはPGAの予想値の中央値２％g以上を得ることができ、よって、距離25kmまでに対して２％gについての警告を発することができる。これより遠く、例えば100kmまでについて同じ警告を発するためには、我々は、地震が少なくともマグニチュード6.7にまで成長するのを待たなければならず、これには４秒（総震源継続時間８秒の半分）程度かかる。さらに大きなPGAの閾値、例えば10％gにあっては、同じM５の現象であれば非常に近い距離（７km未満）でしかこれを超過することはない。しかし、65kmの距離にいる利用者に対して予測される地震動が10％gを超過することを警報するためには、M８の地震が発生しつつあると評価するために18秒まで待たなければならない。つまり、閾値と距離の大きさは、より大きなモーメントの解放を要するものであり、よって、地震が利用者にとって警告を受けるべきものであることが明らかになるまでの時間も長くなる。

警報の猶予時間はどのくらいあるか

S波が強い地震動をもたらすとき、警報の猶予時間（Twarn）の長さは、単純に、S波の到達時間と警告が発せられるまでの時間（Talert）との差である（図４）。一般的に、大きな地震動を発生させるのに充分なモーメントの解放を観測するために必要な時間がS波が伝播する時間に比べて長いことから、ほとんどの距離について、EEWによって適時に大きな閾値にあたる地震動（例えば、20％g）についての警告を発することはできない（図４Bの灰色の領域）。

しかし、大きな地震の揺れの継続時間は長く、強い地震動が到達しうるのは波形の後半になってからである。このことは、警報の猶予時間を長くするものであるから、有利に働く。我々は、一連の地震波がいつ加速度の閾値を超過するのかという疑問に答えるために、1875年以降のM４～８の地震48,841件について震源距離100km未満で記録された三成分波形を分析した。このデータセットには、日本の防災科学技術研究所の観測網（K-NET及びKiK-net）から入手できるMJMA４超かつ震源深さ25km未満の強震記録の全て、南カリフォルニア地震観測網から入手できる1990年以降のM４超のカタログによる高率記録の全て、そしてNGA-West1データセットによるP波の発生が明確に記録された297件の記録（詳細は補足資料を参照）が含まれている。

我々は、これらの記録それぞれについて、三成分データのベクトルの和において加速度が２、５、10及び20％gの各閾値を最初に超過した時間を測り、これらの到達時間についての経験的な確率密度関数（PDF）を作成した（図S７）。強い地震動は、直達するS波とともに到達することが最も多く、強い地震動がS波とともに到達するという我々の仮定を裏付けている。S波の発生より後から地震動の閾値を超過するのは、事例の10～20％でしかない。しばしば、S波到達前のP波においてすでにこれらの地震動の閾値を超過することがあり、２、５、10及び20％gの閾値について、それぞれ35、24、13及び６％の記録がこれにあたる。

一点を震源とする結果の解釈

この論文の主な目的は、地震動の閾値について可能な最も早い警報を、また、位置が瞬時に判明した（おそらくはまだ成長中の）震源からの様々な距離において当該閾値に到達するために必要な最小限のマグニチュードを評価するための枠組を確立することである。我々は、いくつかの単純な関係式を組み合わせることによって、利用者の所在地について地震動を計算するEEWシステムによって可能な最速の警報を計算し、以てこのようなシステムの瞬時性に対する理論的な及び実証的な限界を示した。これらの警報の猶予時間は、実際のアルゴリズムの目標となりうるが決して到達できない理論的な及び実証的な限界を示している。ここまで、防御的な行動（机の下にもぐる、空港の交通流を変更する等）をとるためには一定の反応時間が必要であるという事実は無視されてきたし、データの遠隔監視、解析のための電算、警告の流布、意思決定の分析等に起因する実際のEEWシステムの遅延も無視されている（1 ）。よって、実際には、警報の猶予時間がプラスにならないばかりか、いくつかの重要な値よりも遅れることがあるのは必然である。例えば、もし行動をとるまでに３秒を要し、また、早期警報システムにおいて、最も近い地震計への地震波の伝播、観測されたデータの警報センターへの送信、データの解析及び警告の流布に２秒を要するとすると、利用者が必要とする有効な警報の猶予時間は、最短でも５秒となる。

震源距離が大きくなっても、警報の猶予時間が必然的に長くなる結果とはならないことには、注意を要する（図４）。これは、図S３に示すように、距離と警報に値する最大の加速度とのトレードオフによるものである。最終的に大きな地震動を発生させない多数の地震についての警告を発することなしに大きな閾値にあたる地震動についての警告を適時に提供することの本質的な不可能性は、不必要な警告による負担を負う最終利用者がEEWを利用することを効果的に妨げうる。しかし、誤警告に寛容な利用者や最も懸念されるものよりも低レベルの地震動についての警告を望む利用者にとっては、この限界は、さほど重要でないであろう。例えば、鉄道運行者は、地震が大きな地震動を発生させうるまでに成長するおそれを以て列車を減速させ、後からその警告が不正確であったとわかれば単純に運行を再開することとなる。一定の事例（例えば、伏せ・隠れ・固定するといった防御手段をとる等）においては、こうした低レベルの警告は、効果的な訓練教材のひとつとなって、地震に対する意識及び頻度の低い被害地震に対する事前の備えを向上させるであろう（28 ）。よって、高レベルの地震動だけを懸念する利用者は、不必要な行動をとることになったという意味ではほとんどの警報が誤警告であったとわかることになるとはいえ、成長を続けうる緩い地震について警告を受けることを選択することになるだろう。（ここでは、利用者に対して警告は発せられたが観測された地震動が利用者に被害を及ぼすような閾値以上に達しなかったとき、これを誤警告と定義する。）強い余震活動のような特定の事例を除いて、このような低レベルの警告の引き金となる(よって、当該地震が大きな地震へと成長することができなかったときには迷惑な警告の元となる）ような緩い地震の割合は、小さい。よって、EEWシステムは、小さな振幅の地震動の閾値に関心を有する利用者及び強い地震動を懸念してはいるが警報を瞬時に受け取ることと引き換えに多くの不要な警告を受け取ることを望む利用者のために最大の能力を持ち続けることとなるだろう。

有限断層の作用

我々は、断層の有限性の影響を調べるために、３km/sの一定速度で破壊が進行するM８の垂直横ずれ断層地震について、同様に瞬時性の分析を行う。しかし、大陸の横ずれ断層において地震を発生させうる破壊の幅に限界があることを前提とすると、我々は、もはやモーメント解放率が円形クラックによって与えられるという仮定を正当化することができない。我々は、その代わりに、断層の幅が15kmになるまでは円形に、その後は断層に沿って長方形の破壊が一方向に続くという、より具体的な仮定を用いる。我々は、Hanks and Bakunによるマグニチュード・対数面積（M-logA）スケーリングの関係式（29 ）を用いて、この破壊の面積の成長をモーメントの解放の成長に変換し（図３C）、また、前と同様に警告を発するまでの時間を計算する。破壊の進行方向にあっては、時間が経過するにつれて、EEWシステムによって、しだいに多くのモーメントが解放されていることだけでなく、破壊がしだいに利用者の所在地の近くへと伝播することも観測されることから、警告を発するまでの時間は（一点を震源とするときに比べて）短くなる。GMPEの感度がマグニチュードよりも距離に対して高いことから、この破壊の規模の成長によって、利用者の所在地について予測される地震動の強さは（一点を震源とするときに比べて）急激に増大し、警告がより早く発せられるようになる（図４と５を比較されたい）。

さらに我々は、強い地震動が最終的にS波の速さで利用者のところへと伝播するまでには、まずこれより遅い破壊の速度を以て断層に沿って伝播する（図２）ことから、破壊の進行方向については強い地震動の到達が遅れると仮定した。この引き伸ばされた経路及び低い速度は、強い地震動の到達を大きく遅らせるように働き、警報の猶予時間が著しく長くなることもある。２％gの地震動の警報を１分ほど前に受け取ることができる地域もある。しかし、強い地震動の予測値は、地震が大きなマグニチュードを有していること及び/又は破壊がすでに利用者の所在地の近くまで伝播していることがわかってからようやく得られる。よって、一点を震源とする場合と同様、大きな地震動の閾値について警報の猶予時間を長くすることは、単に不可能である。殊に、このシナリオにおいては、20％gについて猶予時間が７秒を超える警報を受け取ることができる地域はない。さらに、破壊の反対方向にある場所についての警報の猶予時間は、破壊の反対方向には断層の有限性の効果はないことから、一点を震源とする場合と同様であることに注意されたい。

サンアンドレアス断層北部破壊シナリオ

断層の有限性の効果の個別的な事例として、我々は、サンアンドレアス断層における地震の事例について考察する。これは、メンドシノ三重会合点に近い北部カリフォルニア沿岸で発生して、サンフランシスコ湾岸地域へ向かって南方に崩壊し、最終的にM８の大規模な地震となるものである。これは、EEWの潜在的な有用性を示すために典型的に用いられる型のシナリオである。すなわち、遠方で始まって主要な人口集中地区の近くまで破壊が進み、破壊の開始から人口の多い地域への強い地震動の到達までに大きな遅延が生じる大規模地震である。ここでの分析は、サンアンドレアス断層の破壊に合わせて座標系を回転させたこと以外、一般的な有限断層の例と同様であり（図５）、また、格子上の各場所における実際のVs30（訳者注：表層30mの平均S波速度）を用いた場所ごとの振幅を取り込んでいる（詳細は素材及び手法の項を参照）。このシナリオの時点ごとの様相は、成長する破壊の長さ及び破壊の規模をEEWシステムが完全にかつ瞬時に検知したものと仮定して、北部カリフォルニアの６つの地点（オークランド、サンフランシスコ、サンノゼ、サンタクルーズ、サンタローザ及びユカイア）について予測される地震動の成長を示している（図６）。

図５．有限断層についての警報の潜在的な猶予時間。（A）原点から始まってM８の地震になるまで３km/sで右に進行する有限断層（マゼンタの線で示す）のシナリオを示す。上段は、EEWシステムに遅延がなく、かつ、破壊が充分近くまで伝播するか充分なモーメントが解放されるかして各地点（震源距離を横軸に示す）について予測される地震動が２、５、10及び20％g（各段の左から右のグラフに対応）を超過することとなったときに当該地点に対してすぐに警告が発せられるものと仮定して、警告が発せられるまでの時間を色によって示したものである。白い領域は、加速度が閾値となるレベルを超過しない地域である。中段は、強い揺れが図２に示す直接的でない経路によって伝播するものと仮定して、利用者の所在地に強い地震動が到達する時間を示したものである。下段は、各地点における警報の猶予時間――中段の地震動の到達時間と上段の警告が発せられるまでの時間との差――を示す。黒い領域は、受け取った警報の猶予時間がマイナスであること、すなわち地震動が閾値をすでに超過してから警告が届くことを示す。破壊の反対方向（X軸のマイナス方向）においては、円形クラックモデルから断層の長さによってスケーリングされるモーメントレート関数への変更によって（図４及び図S２と比較されたい）、警告が発せられるまでの時間は、わずかに長くなる（また、これに応じて警報の猶予時間が短くなる）こと以外は、警告が発せられるまでの時間、地震動が到達する時間及び警報の猶予時間が一点を震源とするものと同様の結果になることに注意されたい。（B）（A）下段の警報の猶予時間から計算された警報の潜在的な猶予時間（横軸）のPDF。閾値２％gについてのPDFの２つのピークは、破壊の進行方向及び反対方向に対応したものであり、破壊の進行方向についての警報にあっては、より長い猶予時間が得られる。その他の地震動の閾値についてのPDFは、強い地震動が地震の破壊の近くでしか観測されないことから、単峰形である。よって、破壊の反対方向にあっては、５、10又は20％gを超過する地震動に見舞われる領域は、大きくない。（C）所定の最短の猶予時間（横軸）で警報を受け取れる可能性がある地点の割合。これらの値は、（B）のPDFを積分して得られる。やはり、高レベルの地震動については、警報の猶予時間を長くとることはできない。２％gについては約90％の地点において少なくとも何らかの警報が得られ、17％の地点では２％gを超過する加速度について１分を超える猶予時間があるが、20％gを超過する加速度については、遅延のないシステムによっても、７秒を超える猶予時間を期待できる利用者はいない。

こうした遅延のない理想的なEEWシステム及び好適な破壊シナリオ（大都市から離れたところから始まる地震）によってさえ、警報の猶予時間は短い。破壊の開始後４秒で地震がM６のとき、２％g超のPGAが予測される都市は、北部カリフォルニアの小都市ユカイアだけである。我々は、予想される地震動が大幅に増大するサンフランシスコの軟岩の地点を選び、図５に示す一般的な参照地点シナリオよりも早く警報を発表することができるようにした。それでも、破壊が20秒に及んで地震がM７のとき、サンフランシスコについて予測されるPGAは、２％gでしかない。サンフランシスコに20％gの警報を発表できるのは、破壊が約67秒に及んだときであり、住民に提供されるのは、強い地震動が到達する約８秒前である。これに代えて警告の閾値を10、５及び２％gとしたとき、サンフランシスコにおける警報の猶予時間は、それぞれ19、33及び48秒となる（図S10）。

図６．サンアンドレアス断層北部破壊シナリオ。瞬時性のあるEEWにとって一般的には最も好適な事例であると考えられる、大都市から遠い場所（北部カリフォルニア沖）で始まって人口の多い地域（サンフランシスコ湾岸地域）へと伝播するM８の有限断層の破壊の例。各図は、発震から４、20、38、54、67及び96秒後におけるPGAの累積値を示す。テキストボックスは、各時点における地震の規模と断層の長さの観測値を定めて、選ばれた都市について予測されるPGAを示す。赤いテキストボックスは、示された経過時間において10％gの警報が発表されうる場所を示す。各都市について警告が発せられるまでの時間及び警報の猶予時間の詳細は、本文及び図S10を参照。

すなわち、理想化された理論上のEEWシステムにとって最も好適な事例――破壊が遠く離れた開始点から都市に向かって一方向に伝播する大規模地震の近傍にあって局地的な大振幅が生じる大都市――においてさえ、大きな地震動（例えば20％g）の警報の猶予時間を長くすることはできない。このことは、サンフランシスコでは警報の猶予時間が大いに長くなることが期待されるという当初の直感に反するであろう。このように考えるには、地震が実際にサンフランシスコを超えて伝播することを前もって知っている必要があるだろう。実際には、こうした現象は、大規模なM８の破壊に至ることなく、よくある小規模な現象として単純に終息する可能性が高く、そのような場合、サンフランシスコが１％g未満であると予想されるときに、同市に20％gの警報をしようとする必然性はない。

論考

我々がこの論文で示した事例がカリフォルニアの地震に特化したものであるとはいえ、我々が示した枠組は、一般的なものである。ここでは、我々は、利用者が（大きな表面速度、変位量又は特定周波数における加速度応答スペクトルではなく）大きな加速度の警報の受信を望んでおりそのほとんどは通常の（岩盤上の）場所の状況を用いるものと仮定して、カリフォルニアにおける地殻性地震にこの枠組を（この地域についての適切なGMPEとともに）適用した。この枠組においては、警報の猶予時間の結果を調整するために、特定の地域、場所又は利用者の寛容さについてのさまざまな入力情報を容易に用いることができる。例えば、太平洋岸北西部のシアトル地域においては、顕著になるであろう地盤増幅及び共振効果とともに、関連するさまざまなGMPEを伴う２つの明確な震源（深い地殻性の地震及び沈み込み帯の接触面における現象）を考慮しなければならない。同様に、メキシコシティにおいては、堆積岩地盤に関連した長周期共振及び増幅効果が、遠隔地の地震による地震動を増幅することがあり、被害を及ぼす可能性があるレベルの地震動の警報の猶予時間は長くなっている。場所を特定した応用については、当該場所における増幅又は減衰を考慮に入れるために閾値を調整し、あるいはGMPEを調整することができる。例えば、場所の増幅率が２である地点において10％gの警報を受け取ることに関心を有する利用者は、単純に５％gについて電算された結果について考察することができる。同様に、大きく増幅する地盤の場所にあっては、その大きくなった地震動のレベルについて考察することができる。

同様に、EEWのための地震動の測定基準としてのPGA（又は我々がここで考察した４つの閾値）についても特別なことはない。PGVは、長い間、構造物の被害についてPGAよりも良い指標であると認識されてきた。さまざまに仮定されたモーメントレート関数について地震動がPGA及びPGVのさまざまな閾値を超過することの警報の猶予時間を、図S２に示す。この結果は、さまざまな揺れの強さの測定基準について非常に似通っている。さらに、我々の枠組によって、異なる周期の地震動についての考察が、単純に出力たるGMPEを変えることによって簡単に行えるようになっている。個別的な詳細は変化するであろうと予想されるものの、主たる結論は、周期にかかわらず維持される。高レベルの地震動の警報は、大きな地震動が来るであろうことを知るためには地震をより多く観測しなければならないことを意味し、地震が大規模か近傍のものであるときにのみなお警告を発することができる。

最後に、我々が仮定した震源時間関数及びモーメントを実際にこれが解放される２倍の早さで評価できるという仮定は、他の物理学的震源モデル又はモーメントの評価の早さについての他の仮定を以て置き換えることができる。一点を震源とする分析について、我々が、例外的に早いモーメント解放率（Bruneの円形クラックモデル）を選択し、また、蓋然性のある最速のEEWによる警告についての推定値を得るためにこの早さを倍にしたことは特記しておかなければならない。M-logAスケーリング（図３C）（29 ）等、横ずれ断層地震についての物理学的な現実性がより高いモデルを用いると、EEWの瞬時性は、おそらく低下する。M-logAスケーリングについては、破壊がその発生から25％しか進行していない時点で最終的な地震の規模を評価できる（すなわち、モーメントの評価が実際の解放の４倍の速さでなされうる）ものと仮定したとしても、EEWによって大規模な地震について警告を発するための時間は、我々がBruneのモデルにおける速さを２倍にすることを基本として提示してきたものよりも長いままであろう。

我々が考察してきたのは、地震の破壊の近くにあるセンサーを用いて地震を検知し、その位置及び規模を即時的に決定し、利用者に対して地震動早期警報を発表する、理論的かつ最適に効率的な、震源パラメータを基礎とするEEWシステムの事例だけである。（さらに、この理想化されたシステムについて、我々は、地震の規模及び位置が瞬時にかつ誤りなしに決定され、破壊が伝播するにつれてこれが更新されることを仮定していた。）この種の震源パラメータを基礎とするセンサーネットワークを用いたEEWシステムは、JMAのEEWシステム及び合衆国の"ShakeAlert"EEWシステムの動作方法である（4, 30 ）。我々は、他に可能ないくつかの早期警報システムの設計があることに注意しなければならない。現地設置型の震源パラメータEEWシステムは、利用者の所在地に設置された地震計を用いて地震を検知し、その位置及び規模を決定し、地震動を予測し、最初のP波に基づいて警告を発する（31 ）。これらのシステムの性能は、現地設置型のシステムが規模及び位置の評価を地震波が対象地点に到達するのと同時に始めるものであることから、P波が震源からセンサーまで伝播する時間が我々の計算してきた警報の猶予時間から差し引かれることになること以外は、我々がこの論文において示してきたものと同等になるはずである。現地設置型の手法は、検知、通信及び処理における遅延を小さくすることができ、それゆえに、震源近傍の場所についての瞬時性において、より高い性能を示すことがある（31, 32 ）。しかし、これらのシステムが震源から利用者の所在地までの伝播の遅延を利用できないことから、その理論上の性能は、ネットワークを基盤とする手法よりも低くなるものと予想される（図S９）。

また、最初に地震の位置及び規模を推定することなしに、予想される地震動の強さを直接的に予測しようとする試みは、ネットワークを基盤とする手法にも現地設置型の手法にも存在する（32, 33 ）。これらのシステムにおいては、警告を発するまでの時間が地震のモーメントの解放によって直接的に支配されるとは予想されないことから、その動作は、この研究における震源パラメータを基礎とする警報に係るものとは大きく異なる。こうした手法は、震源パラメータを基礎とするEEWシステムよりもよく適時に強い地震動の警報を提供しうるが、これに係るシステムの定量的な分析は、まだ実施されておらず、また、この研究の程界を超えるものである。

これまでのところ、我々が考察してきたのは、システムが最適に高速であり、かつ、計算された地震動の振幅が完全なものであるという前提の下での、EEWによる警報の瞬時性だけである。実際には、実際には、地震動の予測の誤差は、利用者の閾値に対して、予想される地震動の誤った特徴付けにつながる。一般的に、GMPEは、約２倍の標準偏差（1－σ）を有する。例えば、小規模な現象が予測の２倍の地震動を容易に発生させうるし、大規模な現象が半分に減衰することもある。どちらの事例も普通にみられるものであり、記録された地震動の場所ごとのバラつきも同程度にある。我々は、このことについて、群比較検査（companion investigation）による調査を行う。

最後に、最大マグニチュード８の浅い地殻性の横ずれ断層地震の事例を選んだこと及び地盤による増幅を考慮していないこと以外は、我々の研究が地震の空間変動性又は頻度から完全に独立していること及び位置が不可知であることを特記しておく。我々は、地震が予想できるという何らかの考えにおいてこの問題を提示してきたものではない。我々は、測定された成長するモーメントレート関数を踏まえて、期待される警報の猶予時間をモデル化するだけである。実用的な地震予報、活動的な余震過程又は特徴的な（すなわち、Gutenberg-Richterによる頻度とマグニチュードの関係式に従うものではない）地震を取り込むことは、確実に我々の分析の上層に、かつこれとは別の層としてありうるものである。我々の枠組は、典型的なEEWシステムと一致するものであり、それは、ある特徴的な現象を予想するものではなく、現に発生しつつある地震を迅速に測定しようとするだけのものである。

結論

我々は、一点を震源とする記述を用いて来るべき地震動の評価を行う仮想的なEEWシステム及び最終的な断層の長さを把握するシステムに期待される警報の猶予時間について考察した。システムが破壊から利用者までの距離が破壊の伝播に伴って短くなることを特定したときには、警告を発するために要する時間が短くなることから、断層の有限性は、破壊の進行方向にいる利用者にとってのEEWの瞬時性を向上させ、よって、一定の閾値にあたる地震動について警告を発するための最小限のマグニチュードは、時間とともに小さくなる。破壊の反対方向においては、その性能は、一点を震源とする場合と同等である。しかし、EEWシステムを生じつつある破壊の規模を観測できるだけでこれを予想できないものと仮定すると、断層の有限性が警報の瞬時性にもたらす実際の利益は、限定的である。小さな地震動の閾値（例えば２％g）については長い（１分を超える）警報の猶予時間が可能であるが、強い地震動（例えば20％g）については警報の猶予時間はなお短い（10秒未満）。強い地震動は充分に大きな地震に係る破壊の近くでしか発生せず、このとき震源と利用者の所在地との間の地震波の伝播時間はごく短いことから、被害をもたらすような地震動について、警報の猶予時間を長くすることはできない。

我々がこの研究で用いたのは、非常に単純かつ理想化されたモデルであるが、これらのモデルは、測定された震源の挙動及び地震動とのよい一致を示す（例えば、円形クラック破壊モデルは、M７以上の地震について測定された震源時間関数に適合し、GMPEは、観測された中程度の地震動を再現するために最適化されている）。よって、我々は、ここで示した結果が、実用EEWシステムに対して我々が合理的に期待しうる警報の猶予時間の幅について、有用な指針を示しうるものであることを望んでいる。殊に、EEWシステムは、小さな地震動の閾値について猶予時間の長い警報を提供することができるが、被害をもたらすような地震動の適時の警報は、長い有限断層についてさえまれなものである。最も信頼できるEEWの性能（警報が適時のものであった回数の割合を以て計測される）は、行動をとるために小さな地震動の閾値を有する利用者及び行動をとるために必要な時間がごく短い利用者のためのものである。あるいは、当該地震の多くが利用者の所在地において強い地震動を発するまでに至らないのであっても利用者が低レベルの地震動についての警告に基づいて行動をとることを選択したときには、長い警報の猶予時間が可能であるということができる。

この論文において検討した種類のEEWシステム（地震を発生させる破壊の震源パラメータを推定して、これらの情報をGMPEに入力して予想される地震動の警報を行うもの）が強い地震動について多くの利用者に適時の警報を提供するものとして頼りにされるようになることはありそうにないと思われるが、このことは、EEWが有用でないということを意味しない。この他の、地震動を直接的な地震動の予想に用いるEEWの手法は、瞬時性についてこれと同様の限界を有しないこともある（32, 33 ）。震源パラメータを基礎とするEEWの瞬時性における限界を前提としても、誤警告に寛容な利用者は、小さな地震動の閾値を以て警告を受信してそれらの現象のほとんどが強い地震動を発生させるに至らないものだったときに結果としての不必要な警告を受け入れることを望むのであれば、この種のシステムからなお大きな利益を引き出すことができるであろう。将来の研究においては、EEWについて、この種の費用対効果分析が確立されるべきである。

素材及び手法

我々は、他のNGA-West2のGMPEよりもマグニチュードに対して滑らかな依存性を有するものであることから、Chiou and Youngs（22 ）のGMPEを使用した。我々が結果の多くをマグニチュードの連続関数として示していることから、マグニチュードの関数としての予測された地震動の振幅の連続性は、重要である。全体的に、Chiou and Youngs（22 ）のGMPEは、他のNGA-West2のGMPEと一致している。このGMPEは、球形（デフォルト）の領域について実施された。有限断層の事例にあっては、震源深さ（殊に断層の上端の深さ）は、NGA-West2データベースに基づいて、モデルの中央値（デフォルト）としてとられており、これは、M５未満について約７kmであり、約M7.2における０まで滑らかに減少する。一点を震源とする事例にあっては、我々は、Vs30＝760m/sである岩盤の場所という条件において、当該場所が上盤にはないこと及び指向性がないことを仮定してPGAのGMPEを実行し、また、地盤の深さの項を同じくモデルの中央値（デフォルト）となるようにとった。我々は、図S２についても同じ条件を用いたが、PGVはGMPEから出力した。サンフランシスコ湾岸地域の有限断層の事例（図６）にあっては、各場所におけるVs30を決定するためにAllen and Wald（34 ）の研究を用いて、各格子点の場所におけるVs30の値についてGMPEを実行した。

土井の研究（21 ）には、2008年の岩手・宮城内陸地震におけるEEWについての報告が含まれている。その他の報告は、https://anetrt.net/anet/EEW-search/にて入手できる。2011年の東北地方太平洋沖地震における破壊の各種パラメータは、Minson et al.（35 ）中の補足資料にて入手できる。久保ら（36 ）による2016年の熊本地震についての震源モデルの各種パラメータは、www.kyoshin.bosai.go.jp/kyoshin/inversion/inversion_main_en.shtmlにて入手できる。浅野及び岩田（37 ）による2008年の岩手・宮城内陸地震の震源における破壊の各種パラメータは、SRCMODhttp://equake-rc.info/SRCMOD/searchmodels/viewmodel/s2008IWATEx01ASAN/にて入手できる。

参考資料及び特記事項

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謝辞：我々は、草稿のレビューについてN. Beeler、B. Brooks、干場充之、A. Thomas及び匿名の査読者に、また、論考についてShakeAlertプロジェクトグループに謝意を表すものである。

資金：M.-A.M.は、スイス国立科学財団及びGordon and Betty Moore財団から資金を提供されている。

各著者の寄与：S.E.M.は、解析を実行した。M.-A.M.は、データに寄与した。A.S.B.及びT.C.H.は、GMPE解析への入力データを提供した。E.S.C.は、EEWについての専門知識を提供した。

利益相反：各著者は、利益相反のないことを言明している。

データ及び素材の入手性：この論文の結論を評価するために必要な全てのデータは、この論文及び/又は補足資料に示され、あるいはそれぞれに示された公開の情報源により入手可能である。各著者から、この論文に関連する追加的なデータが示されることがある。

提出　2017年９月26日

受理　2018年２月８日

公表　2018年３月21日

10.1126/sciadv.aaq0504

引用時の文献名：S. E. Minson, M.-A. Meier, A. S. Baltay, T. C. Hanks, E. S. Cochran, The limits of earthquake early warning: Timeliness of ground motion estimates. Sci. Adv. 4, eaaq0504（2018）。

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補足資料　http://advances.sciencemag.org/content/suppl/2018/03/19/4.3.eaaq0504.DC1

参考文献　本記事は39件の文献を引用しており、うち９件は無償でアクセスできる。

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Science Advances（ISSN 2375-2548）は、American Association for the Advancement of Science, 1200 New York Avenue NW, Washington, DC 20005の発行物である。2017 © The Authors, some rights reserved. American Association for the Advancement of Scienceは排他的な被許諾者である。合衆国政府独自の著作物に対しては、権利を主張するものではない。Science Advancesの標題は、AAASの登録商標である。

補足資料

・　データファイルS１（Microsoft Excel形式）。この研究に用いられた48,841件の地震波形の記述。

・　動画S１（MP4形式）。図５に示した有限断層シナリオについて観測及び予測されたPGA値の成長。

図S１．モーメントの解放の成長の実測時及び理論値。円形クラックにおけるモーメントの解放（式１。赤線）と、M７以上の沈み込み帯地震115件において観測された積算モーメント（灰色の線）（23 ）との比較及びM７未満の地震におけるコーナー周波数（黄点）のカタログ（39 ）。黒線は、M７以上についての（23 ）の中央値及びM７未満についての（39 ）の中央値。

図S２．PGA及びPGVについての警告が発せられるまでの時間及び警報の猶予時間の比較。図３Cに示された３つの震源時間関数それぞれについて、図４と同様のもの（上段から下段へ：モーメントの解放が円形クラックの２倍早いとしたもの、モーメントの解放が円形クラックと同率であるとしたもの、（29 ）のマグニチュード・対数面積スケーリングによってモーメントが得られる進行速度３km/s・幅15kmの破壊）。左側２列は、２、５、10又は20％gを超過する表面加速度についての警告の受信を望む利用者についてのものである。右側２列は、２、５、10又は20cm/sを超過する表面速度についての警告の受信を望む利用者についてのものである。どちらの群の閾値も、おおよそ改正メルカリ震度階級（MMI）IV-VIIに相当する。

図S３．一点を震源する警報に相当する最大加速度についての、予測されるPGAの経時的な成長。（A）図４の、警告を発するために必要な時間に基づく震源距離（横軸）の関数としての、利用者がマイナスではない警報の猶予時間を得られる最大加速度の閾値。各点の色は、S波が到達する時間までに観測できる最大の地震のマグニチュード（右のカラースケールによる）であり、警報に相当する地震動が非常に近い距離における地震の成長に依存していること、また、さらに遠いところでは1/Rの幾何分布に沿っていることを示している。（カリフォルニアの地震についてのGMPEを用いたことから、震源の最大マグニチュードは、M８で頭打ちとなっている。）水平の線は、地震動の閾値それぞれについて適時の警報が発表されうる距離の範囲を示している。適時の警報が発表されうる最大の地震動は、３つの要素の相互作用に支配されている。第一に、震源距離が大きくなるほど、S波が到達するまでの時間は長くなり、EEWシステムは、より大きなモーメントの解放を観測してより大きな地震動を予測するための長い時間を得られる。第二に、煩雑なことに、これら予測された地震動の振幅は、震源距離に応じて指数関数的に減少する。第三に、マグニチュードの成長、ひいては予測される地震動は、発生直後においてその後よりも著しく大きい（図３C）。これは、モーメントはt³に応じて増大し、マグニチュードはモーメントの対数に比例する、すなわち、マグニチュードの成長が、時間の対数に比例するからである。PGAがマグニチュードに線形的に比例することから、この関係は、地震モーメントの追加量は小さく、大きな表面加速度を生じさせるにあたって効率的でないことを示している。ほとんどの距離について、適時の警報は、小さな地震動の閾値については発表することができ、大きな地震動の閾値についてはまれである。例えば、大きな加速度がS波の到達とともに生じると仮定すると、20％gについて適時の警報を受信できるのは近傍の小さな距離のところだけであることに注意されたい。（B）破壊の開始からのさまざまな時間における、距離（横軸）の関数としての予測加速度のピーク値（PGAとして表す）を、１秒ごとに色付きの曲線で示したもの（１秒及び２秒の線は参照のためその旨付記してある）。時間が経過するにつれて、解放されたモーメントは大きくなり、以て距離の関数としての予測加速度も大きくなる。しかし、マグニチュードは対数尺度である。破壊の前半には、解放されたマグニチュードも予測加速度も１秒ごとに大きく増大する。しかし、後半になるとマグニチュード（ひいては予測される地震動も）の成長率は、急激に低下する。時間のカラースケールの左側に付した注釈は、所定の継続時間の半分において評価が可能なマグニチュードを示している。灰色の領域は、S波の到達時間に対して警報の猶予時間が常にマイナスとなる地震動を示す。上記の３つの要素の組合せによって、直接的なS相の到達前に警告をなしうる最大加速度について、凸カーブ（（B）の黒線及び（A）の灰色線）が作り出される。Rが４km未満の近傍においては、かつ、それゆえに時間経過によるマグニチュードの成長が最も急激な破壊過程の初期にあっては、距離が増大すれば、利用者は、S波の到達前に長い時間を以て観測することができ、これは大きな地震動の警報につながる。しかし、４km以上の距離においてこれは急速に反転し、距離に応じたモーメントの解放の観測の多さ（ひいては破壊を観測するための時間の増加）による利益よりも、距離に応じた地震動の指数的な減衰が卓越する。（このことは、（A）における急速なピーク及びその後の減衰からもわかる。）よって、我々の仮想的なEEWシステムによって警報を発しうる最大の地震動には上限があり、それは、利用者までの震源距離の関数である（A）。

図S４．距離及びマグニチュードの関数として予想される揺れの継続時間。（A：上）予想される経路の継続時間（黒線）Tpath（40 ）及びポアソン固体中のS波速度3.5km/sにおけるS波とP波の到達時間の差（S-P time、赤線）。灰色の破線は、これら２つの量の合計、すなわち、震源距離（横軸）の関数としての、揺れの継続時間の長さの総計。（B：中央）円形クラックにおけるマグニチュードの関数としての、予想される震源継続時間Td（右上のカラースケールによる）。（C：右）P波の発生からS波の終息までの揺れの、予想される継続時間（距離及びマグニチュードの関数としての）の総計（青線）。これは、S-P time、Td及びTpathの合計に等しい。

図S５．M４以上の地震48,841件の記録の調査に基づく、特定の地震動の閾値を超過するまでの時間（横軸）について測定されたPDF。超過までの時間は、波形の総継続時間（図S４による）によって正規化され、マグニチュードによって区分されている。黒線は、時間の中央値であり、灰色の領域は、95％信頼区間を示す。記録の件数は、各グラフに注書きしてある。閾値20％gについての全てのPDF（最下段）は、最も高い確率で超過に至る時点をS波の途中に有する、単純な単峰形をしている。しかし、地震動の閾値が低くなるにつれて、これらの単峰形のPDFの分布は、しだいに二峰形に変わっていく。閾値２％g（最上段）について考察されたい。小規模な（M4.25～4.75）地震（最上段左）にあっては、そのPDFは、閾値２％gがP波及びS波のそれぞれによって超過されるのに対応した、２つのピークを有している。地震の規模が大きくなるにつれて、小さな地震動の閾値はP波によって超過されることが多くなり、M6.5超（最上段右）に至ると、ほとんど全ての現象についてのPDFが、S波の到達前に地震動の閾値を超過する単峰形に変わる。

図S６．距離によって区分された48,841件の記録において測定された、２、５、10及び20％gを超過するまでの時間。他の全ての記号は図S５と同じである。同じ最大振幅を有するようにPDFが正規化されていることに注意。20％gを超過する記録がまれであることから、最下段のPDFは、10％g及び20％gを超過するまでの時間の観測値から作成されている。各閾値を超過するまでの時間の頻度を、青のバーで示す。赤線は、２、５及び10％gについては青のバーと同じだが、最下段においては、10％gと20％gについての測定値の合計である。前図と同じく、小さな地震動の閾値がP波によって超過されることが多くなりがちな一方で、大きな閾値は、通常、S波の発生後まで超過されない。

図S７．地震動の閾値が超過されるまでの時間の実証的な確率。縦軸は全て原点からの相対時間、横軸は震源距離である。黒線は、P波及びS波の到達時間を示す。（A～D）48,841件の記録に基づく、地震動の閾値２、５、10及び20％gを超過した時点における実証的なPDF（右上のカラースケールによる）。これらのPDFは、黒線によって示されたS波の到達後すぐに大きなピークを迎えており、これは、通常はS波が強い地震動をもたらすことを、また、図４に示されたものより長い警報の猶予時間を裏付ける観測結果はないことを示している.（図４の警報の猶予時間は、強い地震動はS波が直接に到達することによってもたらされるという仮定に基づくものである。）しかし、閾値２及び５％gについてP波とS波の到達の間にあるPDFの第２のピークに注目されたい（高い確率密度、すなわちA及びBにおいて顕著なP波とS波の到達の間の明るい色によって示されるもの）。このことは、これらの小さな地震動の閾値が往々にして大きな地震のP波によって超過されることを示しており、これは、利用者にとって潜在的な警報の猶予時間を大きく減らすものである。（E～H）観測された波形に基づく発生後の時間の関数としての、地震動の閾値２、５、10及び20％gを超過する累積確率（右下のカラースケールによる）。これらのグラフは、A～Dの実証的なPDFの距離ごとの区分について積分することによって得られている。約49,000件の記録からなる巨大なデータセットを前提としてさえ、全てのマグニチュード及び距離の範囲について独立してPDFを構築するのに充分な観測値はなく、それゆえに、我々が、震源及び経路効果を踏まえた正規化された継続時間（波形の総継続時間（すなわち図S４のS-P time＋Td＋Tpath）に等しい）にわたって到達時間を考察したことに注意されたい。我々は、これによってさまざまなマグニチュードの現象を集計することができ、また、各閾値についての警告時間がマグニチュードには依存しないが距離には依存する（図４A）ことから、我々は、距離10km刻みで各閾値を超過するまでの時間についての実証的なPDFを作成した。一般的に、地震動の閾値が大きいほど、これらの地震についてのデータセットは小さくなる。統計を充分に頑健なものとするために、我々は、10及び20％gのデータをひとまとめにして20％gについてのPDFを定義した（詳細は図S６を参照）。

図S８．さまざまなマグニチュードの地震についての加速度の閾値の警報の猶予時間。左：各塗りつぶし部分は、震源のマグニチュードに応じて色分けされており、強い地震動がP波の到達から揺れの終息までの間に随時に発生するものと仮定して、利用者（震源距離を横軸に示す）にもたらされるであろう警報の猶予時間の幅を示している。我々は、これらの量が図S４に示された関係によって定まるときには、揺れの総継続時間はS-P time＋Td＋Tpathになると仮定している。各グラフは、さまざまな地震動の閾値（上から下へ）について警報の猶予時間を示している。小さなマグニチュードについての塗りつぶし部分が、大きなマグニチュードについての塗りつぶし部分に重ねて描画されていることに注意。（わかりやすくするために、最初のグラフにおいてはM７の塗りつぶし部分に注書きが付されている。）黒線は、P波及びS波の到達時間を示す。灰色の領域は、警報の猶予時間がマイナスになる場合を示している。各色の塗りつぶし部分は、地震動が利用者の閾値を超過することがないと予想される距離で途切れている（Waveform end）。右：約49,000件の記録の検討（図S７による）に基づく、（横軸の震源距離について）各閾値を超過する地震動が到達するまでの時間の実証的な確率密度。

図S９．利用者（震源距離を横軸に示す）が少なくとも最小限の警報の猶予時間（縦軸）を得ることとなる事象の割合（下のカラースケールによる）。（A～D）例えば、10km離れていて20％g以上の地震動の警報を受け取ることを望む利用者は、81％の地震について、プラスの猶予時間で警報を受信することとなる。しかし、利用者は、防御行動をとるためにいくらかの最小限の長さの時間を必要とする。利用者が少なくとも３秒の猶予時間を必要とするものとすると、この基準は、25％の地震でしか満足されないことになる。これらの数値は、図S８右のPDFを積分することによって得られる。一般的に、我々の理想化されたEEWシステムは、小さな地震動の閾値については、それらの閾値がP波によって超過されうるという事実を考慮してさえ、猶予時間の長い警報を提供することができる（図S７）。しかし、このシステムは、20％gの地震についてはごく近い距離のみにおいて（50％の確率で）１～２秒、10％gの地震については５～60kmの距離において３～５秒と、強い地震動については猶予時間の長い警報を提供することができない。利用者が大きな地震動の閾値についての「スイートスポット」（すなわち５kmより遠いが遠すぎない）にいたならば、適時の警報が可能である。（E～H）これらのグラフは、（A～D）と同じであるが、震源のある場所ではなく利用者の所在地に設置された地震計のデータを用いる現地設置型のEEWシステムについてのものである。よって、各現象における警報の猶予時間は、P波の伝播時間に応じて短くなる。

図S10．サンアンドレアス断層北部破壊シナリオにおける、警告を発するまでの時間及びその結果としての警報の猶予時間。（A）利用者が警告を受けようとする地震動の閾値（横軸）の関数としての警告を発するまでの時間Talertが、図６に示す６つの場所のそれぞれについて描かれている。（B）図２に示す直接的でない伝播経路に従うS波の到達によって地震動の閾値（横軸）が超過されると仮定したときの警報の猶予時間Twarn。図４の、一点を震源とする結果と比較されたい。ユカイアは、破壊の進行方向とほぼ逆方向にあること及びこのことから破壊の有限性の影響を受けることはほぼないことから、結果として警告時間及び警報の猶予時間が図４のそれと同様になることに注意されたい。