ハイブリッド論理とは、通常の様相論理にノミナルと呼ばれる特殊な命題変数を加えた論理体系です。クリプキ意味論においてノミナルは、ただ一点の可能世界のみで真になる、という性質をもちます。それゆえノミナルは可能世界の「名前」としてはたらき、論理の表現能力を格段に向上させます。
さて、ハイブリッド論理の研究をしていると、なぜこの論理が「ハイブリッド」と呼ばれるのか、という質問をよく受けます。このことについて、自身の博士論文 1.3 節で書いたのですが、こちらのページで日本語でも記しておきます。こちらの解説は細部を省略し簡潔にしたものなので、詳細については私の博士論文をご覧ください。
ノミナルを含む様相論理を指してハイブリッドと呼ぶ文献のうち確認できる最初のものは、いずれもハイブリッド論理の研究に多大な貢献を残している論理学者、Patrick Blackburn と Jeremy Seligman が 1995 年に発表した論文 [B&S1995] です。この文献では、ハイブリッド論理は「内的記述」と「外的記述」のハイブリッドであるとして説明されています。彼らの論文にあるすぐれた説明を引用します。
Although both first-order languages and modal languages are tools for describing relational structures, they work very differently. First-order languages take an 'external' view of relational structures, and make use of explicit variables and binding. Modal languages, on the other hand, take an 'internal' view and eschew explicit variable binding in favour of operators. The purpose of this paper is to introduce and explore a number of hybrid languages. These are like first-order languages in their explicit use of variables and binding, but adopt the internal perspective characteristic of modal logic.
様相論理は内的記述の言語である、と言われます。クリプキモデルにおいて様相記号を含む論理式は、自身から到達可能な可能世界のみを参照して解釈されます。ところがノミナルはモデル全体を鳥瞰し、述語論理における個体定項のように、その中から一点の可能世界を指し示します。これはクリプキモデルの外的な記述であると言えます。このことから、ハイブリッド論理は内的記述と外的記述というふたつを混ぜ合わせたものである、と解釈できます。
また、ハイブリッドという語には別の解釈も与えられています。それは、ノミナルそのものが「項」でありかつ「命題」である、二重性を有する、という解釈です。このことは Blackburn と Tzakova の論文 [B&T1999] で指摘されていますが、より詳しい説明が Carlos Areces の博士論文 [Are2000] になされています。
First, why are these logics called hybrid? One explanation comes from Prior's work. Following McTaggart's [1908] analysis of time in terms of the A-series of past, present and future and the B-series of earlier and later, Prior discusses two logical systems: the U-calculus aims to capture the properties of the A-series and takes variables ranging over instants as primitive, while the T-calculus examines tenses and takes variables ranging over propositions. In Chapter V.6 of [Prior, 1967], he actually proposes a way to develop the U-calculus inside the T-calculus, and for this he allows the instant-variables to be used together with propositional symbols. He will call this step "the third grade of tense-logical involvement" in [Prior, 1977, Chapter XI], where instant-variables are treated as representing (special) propositions. From this perspective, the terms hybrid applies to the "confusion" of terms (the variables over instants) with formulas (the proposition symbols).
Prior の提案した U-calculus は、ふたつの時刻 \( x, y \) の前後関係を二項述語 \( l(x, y) \) を用いて直接記述します。そこでは、ある時刻や瞬間は述語論理の項として現れます。いっぽうで、T-calculus は時制論理のように過去や未来を表す演算子 \( F, P \) を用いて時間を記述する体系で、そこでは瞬間は「今は正午である」のような命題として現れます。ハイブリッド論理においては、ノミナルは項としても命題としても現れます。ノミナルはそれ自体で命題として扱えますが、充足演算子 \( @_i \) における使用のされ方はまるで代入をされる定項のようです。さらに、たとえば \( \downarrow x. \) のように、ノミナルを量化するような演算子さえあります。
さて、（これは博士論文には書いていませんが、）わたしは内的記述と外的記述のふたつを併せ持つという [B&S1995] で提示された解釈が好みです。もちろんたんなる様相論理と述語論理の混ぜ合わせとしてもよいのですが、このふたつの論理は遠いようで意外と近い関係にあります。内的記述と外的記述という相反するふたつの混合といったほうが、より雑種という感が強まるように感じます。もっとも、同じことの言い換えに過ぎない気もしますが。